У својим Елементима Еуклид доказује Питагорину теорему на два места, најпре у првој, а затим и у шестој књизи. Први доказ је прилично захтеван за праћење, и према Проклу, припада Еуклидовом претходнику Еудоксу, као и теорија пропорционалности изложена у петој књизи Елемената. Постоје различита тумачења зашто је Еуклид изабрао да у првој књизи теорему докаже на тежи начин, иако су у његово време били познати једноставнији докази. Са једне стране, већина тих доказа је подразумевала поделу правоуглог троугла на мање, сличне троуглове и коришћење особина пропорционалности за извођење одговарајуће једнакости, али оне су изложене тек у петој књизи, док је сличност обухваћена шестом књигом. Са друге стране, како су стари Грци све аритметичке операције интерпретирали кроз геометрију, врло је вероватно да се Еуклиду први доказ природно наметнуо – јер је посматрао Питагорину теорему као однос између површина. Према Проклу, други доказ је у потпуности Еуклидов, штавише, то је једини оригинални Еуклидов доказ у Елементима.
Суштина првог доказа је да, ако су са A, B и C означена темена правоуглог троугла са правим углом код темена A, и ако се из тог темена спусти висина на хипотенузу која се продужи до наспрамне странице квадрата над хипотенузом, она ће поделити тај квадрат на два правоугаоника, чије ће површине бити једнаке површинама квадрата над ближом катетом.
- За формалан доказ, најпре је потребно показати да важе следеће елементарне леме:
(СУС став према подударности троуглова) Ако су две странице једног троугла једнаке са две странице другог троугла, и ако су углови које захватају ти парови једнаких страница такође једнаки, онда су троуглови подударни. - Површина троугла је једнака половини површине било ког паралелограма конструисаног над двема страницама тог троугла.
- Површина било ког правоугаоника једнака је производу две суседне странице.
- Површина било ког квадрата једнака је производу две његове странице (следи из претходне леме).
Опис 2. корака доказа
Интуитивна идеја доказа је да се квадрати над катетама трансформишу у паралелограме исте површине, који се затим новом трансформацијом уклапају у правоугаонике на које је подељен квадрат над хипотенузом.
- Нека је ACB правоугли троугао са правим углом код темена A.
- На свакој од страница BC, AB и CA нацртани су квадрати CBDE, BAGF и ACIH респективно.
- Из тачке A спуштена је нормала на страницу BC која је продужена до пресека са страницом DE и уједно је паралелна са BD и CE. Њени пресеци са страницама BC и DE су редом означени са K и L.
- Спајањем тачака C и F, односно A и D, добијају се троуглови BCF и BDA.
- Углови CAB и BAG су прави, па су тачке C, A, и G колинеарне. Слично се закључује за тачке B, A и H.
- Углови CBD и FBA су прави, што значи да је угао ABD једнак углу FBC, пошто су оба једнака збиру правог угла и угла ABC.
- Како је страница AB једнака страници FB, а BD једнака BC, троугао ABD је подударан са троуглом FBC.
Опис 3. и 4. корака доказа
- Како су тачке A, K и L колинеарне, правоугаоник BDLK има двоструко већу површину од троугла ABD.
- Како су тачке C, A и G колинеарне, квадрат BAGF има двоструко већу површину од троугла FBC.
- Из претходног следи да правоугаоник BDLK има исту површину као квадрат BAGF, која је једнака AB2.
- Слично, могуће је показати да правоугаоник CKLE мора да има исту површину као квадрат ACIH која износи AC2.
- Сабирањем добијених једнакости биће AB2 + AC2 = BD•BK+KL•KC.
- Како је BD=KL, важи BD•BK+KL•KC=BD(BK+KC)=BD•BC.
- Одатле је AB2 +AC2 =BC2, пошто је CBDE квадрат.
Занимљивост:
Пример генерализације Питагорине теореме
Могуће је да је Еуклид био свестан тежине овог доказа, и да је због тога у шестој књизи доказао мало општији случај Питагорине теореме користећи сличност. Према том тврђењу, код правоуглог троугла, геометријски лик (без ограничења да то мора бити квадрат) конструисан над хипотенузом једнак је по површини збиру површина сличних и слично конструисаних геометријских ликова над катетама.
Аутор: Дејан Златић
ОШ “Бранислав Петровић” Слатина, Чачак